Estratégia de reversão média agressiva passiva para seleção de portfólio

PAMR: estratégia de reversão à média agressiva passiva para seleção de portfólio.
Bin Li Peilin Zhao Steven C. H. Hoi Email autor Vivekanand Gopalkrishnan.
Este artigo propõe uma nova estratégia de seleção de portfólios on-line chamada "Passive Aggressive Mean Reversion" (PAMR). Ao contrário da tendência tradicional seguindo abordagens, a abordagem proposta depende da relação de reversão média dos mercados financeiros. Equipado com a técnica de aprendizado passivo agressivo on-line do aprendizado de máquina, a estratégia de seleção de portfólio proposta pode efetivamente explorar a propriedade de reversão à média dos mercados. Ao analisar o esquema de atualização do PAMR, descobrimos que ele negocia bem entre o retorno do portfólio e o risco de volatilidade e reflete o princípio de negociação de reversão à média. Também apresentamos várias variantes do algoritmo PAMR, incluindo um algoritmo de mistura que mistura PAMR e outras estratégias. Realizamos extensas experiências numéricas para avaliar o desempenho empírico dos algoritmos propostos em vários conjuntos de dados reais. Os resultados encorajadores mostram que, na maioria dos casos, a estratégia PAMR proposta supera todos os benchmarks e quase todas as estratégias de seleção de portfólio de última geração sob várias métricas de desempenho. Além de seu desempenho superior, o PAMR proposto é executado extremamente rápido e, portanto, é muito adequado para aplicativos de negociação on-line da vida real. O testbed experimental, incluindo códigos-fonte e conjuntos de dados, está disponível em cais. ntu. edu. sg/
Editor: Nicolo Cesa-Bianchi.
1. Introdução.
Seleção de Portfólio (PS) é um problema prático de engenharia financeira que exige determinar uma estratégia de investimento de riqueza entre um conjunto de ativos para atingir certos objetivos, como maximizar a riqueza acumulada ou o retorno ajustado ao risco, no longo prazo. Neste artigo, investigamos as estratégias seqüenciais de seleção de portfólio (também denominado seleção de portfólio on-line), que determinam sequencialmente as carteiras com base em informações publicamente disponíveis.
Tradicionalmente, em finanças, as carteiras são freqüentemente selecionadas de acordo com a teoria da variância média (Markowitz 1952, 1959) ou suas variantes, para trocar entre retorno e risco. Nos últimos anos, esse problema também tem sido ativamente estudado a partir de uma perspectiva de aprendizado para selecionar portfólio, com raízes nos campos da aprendizagem mecânica, mineração de dados, teoria da informação e estatísticas. Ao invés de negociar com um único estoque usando técnicas de inteligência computacional, aprender a selecionar abordagem de portfólio se concentra em um portfólio, que consiste em múltiplos ativos / estoques. Várias abordagens para a seleção de portfólio on-line, muitas vezes caracterizadas por formulações de aprendizado de máquina e soluções eficazes de otimização, foram propostas na literatura (Kelly 1956; Breiman, 1961; Cover 1991; Ordentlich e Cover 1996; Helmbold et al., 1996; Borodin e El-Yaniv, 1998 (Borodin et al., 2000, 2004; Stoltz e Lugosi, 2005; Hazan, 2006; Györfi et al., 2006; Blum e Mansour, 2007; Levina e Shafer, 2008; Györfi et al., 2008). Apesar de ser estudado extensivamente, a maioria das abordagens são limitadas em alguns aspectos ou no outro.
Nosso objetivo deste trabalho é investigar uma nova estratégia de seleção de portfólio online que emprega técnicas de aprendizado online para explorar os mercados financeiros. Algumas estratégias existentes adotam a tendência seguinte, ou seja, assumem que o preço relativo seguirá seus dias históricos de negociação. No entanto, essa filosofia fracassa quando os parentes dos preços não entram em nenhuma direção específica, mas sim se movem ativamente dentro de uma faixa. Portanto, neste estudo, exploramos outro princípio bem conhecido em finanças, a saber, a reversão à média (Jegadeesh, 1990), por meio de uma estrutura de aprendizado de máquina on-line. Para tanto, propomos uma nova estratégia de seleção de portfólios denominada “Passive Aggressive Mean Reversion” (PAMR), que explora a propriedade de reversão à média dos mercados financeiros pela aprendizagem passiva agressiva on-line (Crammer et al. 2006). A ideia-chave da PAMR é formular uma nova função de perda que pode efetivamente explorar a propriedade de reversão à média e adotar o aprendizado on-line agressivo passivo para buscar um portfólio ideal entre o pool de ativos para maximizar o retorno cumulativo.
Sob diferentes cenários, a estratégia PAMR proposta mantém passivamente o último portfólio ou aborda agressivamente um novo portfólio seguindo o princípio de reversão à média. Ao resolver três bem formulados problemas de otimização, chegamos a três regras simples de atualização de portfólio. É interessante verificar que o esquema final de atualização da carteira atinge certas compensações entre o retorno da carteira e o risco de volatilidade e reflete explicitamente a regra de negociação de reversão à média. Além disso, propomos um algoritmo de mistura, que mistura PAMR e outras estratégias, e mostra que a mistura pode ser universal se uma estratégia universal for incluída. As principais vantagens do PAMR são o desempenho altamente competitivo e a eficiência do tempo de computação bastante atraente. Nossos extensos experimentos numéricos em vários conjuntos de dados reais mostram que, na maioria dos casos, a estratégia PAMR proposta é bastante eficiente em comparação com várias estratégias de seleção de portfólio de última geração sob uma variedade de métricas de desempenho. Ao mesmo tempo, a estratégia proposta cobre tempo linear em relação ao produto do número de ações e dias de negociação, e seu tempo computacional em testes de retorno é ordens de grandeza inferiores aos seus concorrentes, mostrando sua aplicabilidade à grande escala do mundo real aplicações online.
Nós propomos um novo algoritmo para seleção de portfólios online, chamado “Passive Aggressive Mean Reversion” (PAMR). Até onde sabemos, é a primeira estratégia de seleção de portfólio que explora tanto a propriedade de reversão à média em finanças quanto a poderosa técnica de aprendizagem passiva agressiva on-line em aprendizado de máquina.
Propomos um algoritmo de mistura para misturar os algoritmos PAMR propostos e outras estratégias universais, resultando em uma estratégia de mistura universal teoricamente garantida.
Analisamos o esquema final de atualização de portfólio da PAMR e mostramos que está essencialmente relacionado a certas compensações entre retorno de portfólio e risco de volatilidade.
Conduzimos um extenso conjunto de experimentos numéricos em vários conjuntos de dados atualizados de vários mercados. Os resultados mostram que, na maioria dos casos, a estratégia de PAMR proposta não supera os benchmarks (incluindo o índice de mercado, o melhor estoque e o melhor portfólio de reequilíbrio constante (Cover 1991) em retrospectiva), mas também supera as várias estratégias de última geração várias métricas de desempenho testadas.
Também estendemos a estratégia proposta para lidar com alguns problemas práticos para uma tarefa de seleção de portfólio da vida real, ou seja, custo de transação e compra de margem, e mostramos sua viabilidade prática por meio do extenso estudo empírico.
Mostramos que a complexidade do tempo do algoritmo proposto é linear em relação ao número de ações por dia de negociação, e seu tempo computacional empírico nos testes de volta é bastante competitivo em comparação com o estado das artes, indicando que a estratégia proposta é adequada para Aplicações reais em grande escala em linha.
O resto do artigo está organizado da seguinte forma. A seção 2 afirma formalmente o problema da seleção de portfólio on-line. A seção 3 analisa as abordagens existentes de última geração para resolver esse problema e destaca suas limitações. A seção 4 apresenta nossa estratégia PAMR proposta e analisa o algoritmo. A seção 5 valida a eficácia da PAMR por extensos estudos empíricos sobre mercados financeiros históricos. Finalmente, a seita. 6 resume este artigo e indica as direções futuras.
2 Configuração do problema.
Vamos considerar um mercado financeiro com ativos, sobre os quais desejamos investir. As mudanças nos preços dos ativos por n períodos de negociação são representadas por uma sequência de vetores relativos a preços não negativos e não-zero \ (> _, \ ldots,> _ \ in> _ ^ \). Vamos usar xn para denotar essa seqüência de vetores. O i-ésimo componente do vetor t x denota a relação entre o preço de fechamento e o último preço de fechamento do i-ativo no quinto dia de negociação, portanto, um investimento no ativo i no dia de negociação aumenta por um fator de x ti.
Seleção de portfólio como um problema de decisão seqüencial.
Custo de transação: não assumimos nenhum custo de transação ou impostos neste modelo de seleção de portfólio;
Liquidez do mercado: assumimos que é possível comprar e vender quantidades necessárias ao último preço de fechamento de qualquer período de negociação;
Custo do impacto: assumimos que o comportamento do mercado não é afetado por uma estratégia de seleção de portfólio em nosso estudo.
3 Trabalhos relacionados.
Nesta seção, revisamos algumas abordagens populares de seleção de portfólio e algumas filosofias de aprendizado de máquina e de negociação que inspiram a abordagem proposta.
3.1 Abordagens de referência.
A linha de base mais comum é a estratégia Buy-And-Hold (BAH), ou seja, uma pessoa investe sua riqueza em um conjunto de ativos com um portfólio inicial e mantém o portfólio o tempo todo. A estratégia da BAH com um portfólio inicial uniforme é chamada de estratégia uniforme da BAH, que é adotada como estratégia de mercado produzindo o índice de mercado em nosso estudo. Ao contrário da estratégia estática da BAH, as estratégias ativas de negociação geralmente mudam as carteiras regularmente durante os períodos de negociação. Uma estratégia ativa clássica é Constant Rebalanced Portfolios (CRP) (Cover e Gluss, 1986), que mantém uma fração fixa da riqueza de um investidor em cada ativo subjacente a cada dia de negociação. A melhor estratégia de CRP é frequentemente chamada de Melhor CRP (BCRP), que aparentemente é apenas uma estratégia retrospectiva. A estratégia do CRP pode aproveitar as flutuações do mercado para negociação ativa, e sua ideia subjacente é baseada no princípio de reversão à média, ou conhecido como “Buy Low, Sell High”. Para lidar com a questão dos custos de transação para a estratégia do CRP, Blum e Kalai (1999) propuseram o semi-CRP que equilibra parcialmente entre potencial retorno e potencial custo de transação e reequilíbrios para carteira inicial no final de qualquer subconjunto dos períodos de negociação em vez de cada dia de negociação.
3.2 Aprendizagem online.
Nesta seção, apresentamos brevemente o trabalho relacionado sobre a aprendizagem de máquinas on-line (Rosenblatt 1958; Crammer and Singer 2003; Cesa-Bianchi et al., 2004; Crammer et al., 2006; Fink et al., 2006) para ter a inspiração de aprendizagem para a nossa trabalhos. O algoritmo Perceptron (Rosenblatt 1958; Freund e Schapire 1999) é uma importante abordagem on-line que atualiza a função de aprendizado adicionando um novo exemplo com um peso constante quando é classificado incorretamente. Recentemente, alguns algoritmos de aprendizagem on-line foram propostos com base no critério de margem máxima (Li and Long 1999; Gentile 2001; Kivinen et al., 2001; Crammer and Singer 2003; Crammer et al., 2006; Zhao et al., 2011). Por exemplo, o algoritmo de Margem Máxima Online Relaxada (ROMMA) (Li e Long 1999) escolhe repetidamente os hiper-planos que classificam corretamente os exemplos de treinamento existentes com a margem máxima. O algoritmo Passivo Agressivo (PA) (Crammer et al. 2006) atualiza a função de classificação quando um novo exemplo é classificado incorretamente ou seu escore de classificação não excede alguns limites predefinidos. Como mostram os estudos empíricos, os algoritmos de aprendizagem on-line baseados em margem máxima são geralmente mais eficazes do que o algoritmo Perceptron. Neste artigo, adotamos principalmente a idéia de aprendizado agressivo passivo, uma vez que é adequado para nossas motivações, como ilustrado em Secção. 4.1.
3.3 Aprender a selecionar portfólio.
Aprender a selecionar portfólio tem sido extensivamente estudado em teoria da informação e aprendizado de máquina. Geralmente, uma estratégia seleciona uma estratégia ótima (pode ser estratégia de mercado, estratégia desafiadora do BCRP ou até mesmo a estratégia da Oracle que escolhe o melhor estoque a cada dia de negociação) e tenta obter o mesmo retorno cumulativo. O arrependimento de uma estratégia é definido como a lacuna entre a riqueza cumulativa logarítmica alcançada e a da estratégia ótima.
Um tipo importante de aprendizado para selecionar portfólio é a abordagem de minimização de arrependimentos, que escolhe a estratégia da BCRP como a estratégia ideal. A capa (1991) propôs a estratégia de Portfólios Universais (UP), onde o portfólio é a média ponderada do desempenho histórico de todos os especialistas constantes em portfólio reequilibrado. O arrependimento alcançado pelo UP da capa é O (m log n), e sua complexidade de tempo de execução é O (n m), onde m indica o número de ações e n indica o número de dias de negociação. A implementação é exponencial no número de ações e, portanto, restringe o número de ativos usados ​​em experimentos e aplicações reais. Kalai e Vempala (2002) apresentaram uma implementação eficiente do tempo de Cover UP baseada em caminhadas aleatórias não uniformes que estão se misturando rapidamente, o que requer tempo de execução poli O (m 7 n 8). Seguindo seu trabalho, Cover e Ordentlich (1996) desenvolveram procedimentos universais quando a informação lateral 1 é levada em conta como um número finito de valores. Cross e Barron (2003) propuseram uma nova estratégia universal de portfólio, rastreando a melhor riqueza em retrospecto alcançável dentro de classes alvo de sequências de portfólio linearmente parametrizadas, que são mais gerais do que a classe CRP padrão e permitem que o portfólio exiba uma forma contínua de dependência. preços passados ​​ou outras informações laterais. Belentepe (2005) apresentou uma visão estatística do UP de Cover, mostrando que é aproximadamente equivalente a uma otimização sequencial de portfólio restrita, que conecta UP de Cover com a teoria de portfólio de média-variância tradicional.
Outra estratégia famosa é a estratégia Exponential Gradient (EG) (Helmbold et al., 1997, 1996) para seleção de portfólio on-line usando atualizações multiplicativas. Em geral, a estratégia EG tenta maximizar o retorno diário esperado da carteira logarítmica (aproximada usando o último preço relativo) e minimizar o desvio entre o próximo portfólio e o último portfólio. O arrependimento alcançado por EG é O (\ (\ sqrt \)) com O (mn) tempo de execução. Embora seu arrependimento não seja tão rígido quanto o Cover's UP, sua complexidade linear de tempo é substancialmente menor que a última.
Recentemente, a otimização convexa foi aplicada para resolver o problema de seleção de portfólios (Agarwal et al. 2006; Agarwal e Hazan 2005; Hazan 2006; Hazan et al. 2007). Exemplos incluem a estratégia Online Newton Step (ONS) (Agarwal et al., 2006), que visa maximizar a riqueza cumulativa logarítmica esperada (aproximada usando familiares históricos) e minimizar a variação do portfólio esperado. ONS explora as informações de segunda ordem da função de riqueza de log e aplica-a ao cenário online. Teoricamente alcança um arrependimento de O (m log n), que é o mesmo que UP de Cover, e tem complexidade de tempo de execução de O (m 3 n). Após o ONS, Hazan e Seshadhri (2009) recentemente propuseram uma nova abordagem de arrependimento adaptativo com resultados teóricos mais decentes, que essencialmente é uma estratégia baseada em ONS.
Outra direção promissora para a seleção de portfólios é a abordagem de maximização da riqueza, que é baseada na noção de abordar o Oracle como a estratégia ideal. Essa idéia foi seguida por Borodin et al. (2004) em sua proposta de uma estratégia de portfólio não universal denominada Anticorrelação (Anticor). Ao contrário das abordagens de minimização do arrependimento, a estratégia da Anticor aproveita as propriedades estatísticas do mercado financeiro. A motivação subjacente é apostar na consistência da correlação cruzada defasada positiva e da autocorrelação negativa. Ele explora as informações estatísticas dos parentes históricos de preço de ações e adota a clássica idéia de troca de reversão média para transferir a riqueza no portfólio. Embora não forneça qualquer garantia teórica, seus resultados empíricos (Borodin et al., 2004) mostraram que a Anticor pode superar todas as estratégias existentes na maioria dos casos. Ao contrário do algoritmo guloso da estratégia Anticor, Li et al. (2011b) propuseram recentemente a estratégia de Reversão Média Ponderada por Confiança (CWMR) para explorar ativamente a propriedade de reversão à média e as informações de segunda ordem de uma carteira, o que produz um desempenho melhor do que o da Anticor.
Além disso, Györfi et al. (2006) introduziram recentemente uma estrutura de estratégias de aprendizagem não paramétricas baseadas em Kernel-based Moving Window (B K) para seleção de portfólios baseada em técnicas de previsão não-paramétrica (Györfi e Schäfer 2003). Seu algoritmo primeiro identifica uma lista de sequências relativas de preços históricos semelhantes cujas distâncias euclidianas com janelas de mercado recentes são menores do que um limite, e então otimiza o portfólio com relação à lista de seqüências similares. Sob o mesmo quadro, Györfi et al. (2007) propuseram uma outra variante chamada estratégia Semi-log-optimal baseada em Kernel não paramétrico, que é na verdade uma aproximação da estratégia B K, principalmente para melhorar a eficiência computacional. Substituindo a função de utilidade de registro pela função de utilidade do tipo Markowitz, Ottucsák e Vajda (2007) propuseram a estratégia de tipo Markowitz baseada em Kernel não paramétrica, que conecta o retorno e o risco (ou a média e variância) com a estratégia de seleção de portfólio online. Seguindo o mesmo quadro que a estratégia B K, estratégia de aprendizagem não vizinha de vizinhança vizinha (BNN) proposta em Györfi et al. (2008) visa pesquisar os ℓ vizinhos mais próximos nas sequências relativas ao preço histórico em vez de pesquisar parentes de preços dentro de uma bola euclidiana especificada. Este método foi mostrado empiricamente como uma estratégia de negociação robusta. Nessa direção, Li et al. (2011a) propuseram recentemente a estratégia de aprendizagem não paramétrica orientada por Correlação (CORN) para procurar parentes de preços similares via coeficiente de correlação e consideravelmente impulsionaram o desempenho empírico da abordagem de aprendizagem não paramétrica.
Além do fluxo principal de aprendizado para seleção de portfólio, outro tipo de estratégia de negociação baseia-se na alternância entre várias estratégias, ou seja, mantendo uma distribuição de probabilidade entre as estratégias. A Singer (1997) propôs a Mudança de Portfolios (SP), que visa lidar com a mudança de mercado, levando em consideração a possibilidade de o mercado mudar seu comportamento após cada dia de negociação. Ele alterna entre um conjunto de estratégias básicas de investimento e assume que a duração a priori de usar uma estratégia básica é geometricamente distribuída. Levina e Shafer (2008) propuseram a estratégia Gaussian Random Walk (GRW), que é uma estratégia de mudança de Markov. A GRW alterna entre as estratégias básicas de investimento como uma caminhada aleatória gaussiana no simplex de portfólios.
Por último, observamos que nosso trabalho é muito diferente de outro grande corpo de trabalho existente na literatura (Kimoto et al., 1993; Tay and Cao 2001; Cao and Tay 2003; Tsang et al., 2004; Lu et al., 2009), que tentou fazer previsões financeiras de séries temporais e previsões de preços de ações aplicando técnicas de aprendizado de máquina, como redes neurais (Kimoto et al. 1993), árvores de decisão (Tsang et al. 2004) e máquinas de vetores de suporte (SVM) (Tay and Cao 2001, Cao e Tay 2003, Lu et al., 2009), etc. A principal diferença entre esses trabalhos e os nossos é que seu objetivo de aprendizagem é fazer previsões explícitas de preços / tendências futuras, enquanto nosso objetivo de aprendizagem é otimizar diretamente o portfólio sem prever preços explicitamente.
3.4 Análise do trabalho existente.
Uma idéia de comércio popular na realidade é a estratégia de seguimento ou impulso, o que pressupõe que os estoques historicamente de melhor desempenho ainda funcionariam melhor do que outros no futuro. Alguns algoritmos existentes, como EG e ONS, aproximam-se do retorno diário logarítmico esperado e do retorno cumulativo logarítmico, respectivamente, usando parentes de preços históricos. Embora essa idéia seja fácil de entender e faça fortunas para muitos dos melhores comerciantes e investidores do mundo, as tendências seguidas são muito difíceis de implementar efetivamente. Além disso, no curto prazo, os parentes dos preços das ações podem não seguir as tendências anteriores, como empiricamente evidenciado por Jegadeesh (1990) e Lo e MacKinlay (1990).
Além da tendência seguinte abordagem, outra abordagem amplamente adotada na comunidade de aprendizagem é a reversão de média (Cover e Gluss 1986; Cover 1991; Borodin et al. 2004), que também é denominado como abordagem contrária. Essa abordagem decorre da estratégia CRP (Cover e Gluss, 1986), que reequilibra no portfólio inicial a cada dia de negociação. A idéia por trás dessa abordagem é que, se um estoque for pior do que outros, ele tende a apresentar melhor desempenho do que outros no próximo dia de negociação. Como resultado, a característica definidora de uma estratégia contrária é a compra de títulos que tiveram um desempenho ruim no passado e a venda de títulos que tiveram um bom desempenho, ou simplesmente, "Vender o vencedor, comprar o perdedor". De acordo com Lo e MacKinlay (1990), a eficácia da reversão média é uma conseqüência de autocovariâncias cruzadas positivas em valores mobiliários. Entre os algoritmos existentes, CRP, UP e Anticor adotam essa idéia comercial. No entanto, CRP e UP revertam passivamente para a média, enquanto a evidência empírica do algoritmo Anticor (Borodin et al., 2004) mostra que a reversão ativa para a média pode explorar melhor a flutuação dos mercados financeiros e é provável que obtenha um lucro muito maior. Por outro lado, embora a Anticor reverta ativamente para a média, é um método heurístico baseado em correlações estatísticas para transferir a riqueza dentro da carteira. Em outras palavras, pode não explorar efetivamente a propriedade de reversão à média.
No meio, algoritmos de aprendizagem não paramétricos baseados em correspondência de padrões (B K e B NN, etc.) podem identificar muitas condições de mercado, incluindo a reversão à média e a tendência a seguir. No entanto, ao localizar parentes de preços semelhantes, as abordagens de aprendizagem não-paramétricas podem localizar tanto a reversão média quanto a tendência seguindo os parentes de preços, cujos padrões são essencialmente opostos, enfraquecendo assim a maximização da riqueza acumulada esperada.
Em uma palavra, tanto a tendência quanto a reversão à média podem gerar lucro nos mercados financeiros, se usados ​​de maneira apropriada. A seguir, proporemos um método ativo de seleção de portfólio baseado em reversão à média. Embora simples em regras de atualização, empiricamente supera as estratégias de seleção de portfólio existentes acima na maioria dos casos. O sucesso da estratégia de seleção de portfólio proposta indica que ela aproveita apropriadamente a ideia de negociação de reversão à média e gera lucros significativamente altos nos testes de retorno com dados reais de mercado.
4 Abordagem passiva da média agressiva de reversão para seleção de portfólio.
4.1 Intuição e visão geral.
Exemplo motivador da CRP para mostrar a ideia de negociação de reversão à média.
Outra motivação do algoritmo PAMR proposto é inspirada no fato de que na crise financeira, todos os estoques caem de forma síncrona ou certas ações caem significativamente. Nessas situações, o rebalanceamento ativo pode não ser apropriado, já que coloca muita riqueza em ações “minas”, como o Bear Stearns, durante a recente crise financeira. Para evitar o risco potencial em relação a esses estoques de "mina", é uma boa opção manter o portfólio anterior, o que constitui a estratégia da CRP. Aqui, a razão para escolher a estratégia passiva de CRP é que identificar esses estoques “meus” a priori é quase impossível, o que geralmente é conhecido em retrospectiva. Assim, para evitar sofrer muito com essas situações, o PAMR alterna a estratégia entre a reversão “agressiva” e a “passiva” dependendo das condições do mercado. A estratégia de reversão média passiva evita o alto risco da abordagem agressiva que colocaria quase toda a riqueza nesses estoques de "mina" quando cair significativamente.
Neste artigo, propomos uma nova estratégia de negociação chamada “Passive Aggressive Mean Reversion”, ou abreviadamente PAMR. Por um lado, o pressuposto subjacente à nossa abordagem é que as ações de melhor desempenho teriam um desempenho pior do que outras no próximo dia de negociação. Por outro lado, se o mercado cair demais, pararíamos de reequilibrar ativamente o portfólio para evitar certos estoques de "mina" e seus riscos associados. Para explorar essas intuições, sugerimos adotar a aprendizagem on-line agressiva passiva (PA) (Crammer et al. 2006), que foi originalmente proposto para tarefas de classificação. Falando vagamente, a idéia básica da PA para a classificação é que ela permanece passivamente na solução anterior se a perda for zero, enquanto atualiza de forma agressiva a solução sempre que a perda de sofrimento é diferente de zero.
Vamos agora descrever a ideia básica da estratégia proposta em detalhes. Em primeiro lugar, se o retorno diário da carteira estiver abaixo de um certo limite, tentaremos manter o portfólio anterior de forma que ele reverte passivamente para o meio para evitar os potenciais estoques de "mina". Em segundo lugar, se o retorno diário da carteira estiver acima do limite, ativamente reequilibraremos a carteira para garantir que o retorno diário esperado da carteira esteja abaixo do limite, na crença de que os parentes de preço da ação reverterão no próximo dia de negociação. Isso soa um pouco contra-intuitivo, mas é realmente razoável, porque se o preço da ação relativa reverter, manter o retorno diário esperado da carteira abaixo do limite é capaz de manter um alto retorno diário da carteira no próximo dia de negociação. Aqui, o retorno esperado da carteira é calculado com relação aos parentes históricos de preços, por exemplo, em nosso estudo, o último preço relativo, que é consistente com o algoritmo EG (Helmbold et al. 1997, 1996).
Exemplo motivador de comparação entre a estratégia do BCRP e do PAMR.
Suponha que o limite para a atualização PAMR seja definido como 1, ou seja, se o retorno diário do portfólio for inferior a 1, não fazemos nada além de manter o portfólio existente. Nossa estratégia começa com um portfólio \ ((\ frac, \ frac) \). Para o primeiro dia de negociação, o retorno é \ (\ frac & gt; 1 \). Então, no início do 2º dia de negociação, reequilibramos o portfólio para satisfazer a condição de que o retorno diário da carteira diária com base nos parentes do último preço está abaixo do limite 1 e o portfólio resultante é \ ((\ frac, \ frac) \) . Embora pareça que construímos uma carteira de tal forma que o retorno aproximado da carteira esteja abaixo do limite, na prática, como a reversão para a média sugere, estamos maximizando o retorno da carteira no próximo dia de negociação. Como podemos observar, o retorno para o segundo dia de negociação é \ (\ frac & gt; 1 \). Em seguida, seguindo a mesma regra, reequilibraremos o portfólio para \ ((\ frac, \ frac) \). Como resultado, em tal mercado, a taxa de crescimento da estratégia proposta é \ (\ frac \ times (\ frac) ^ \) para um período de negociação, que é muito mais superior ao do BCRP, ou seja, ((\ frac) ^ \).
4.2 Formulações.
Agora vamos elaborar formalmente a estratégia de Reversão de Média Agressiva Passiva proposta (PAMR) para o problema de seleção de portfólios. A estratégia PAMR baseia-se na idéia de reversão média, conforme descrito em Sect. 4.1, e está equipado com a técnica de aprendizagem online Passive Aggressive (PA) (Crammer et al. 2006).
Nas partes a seguir, formularemos três variantes da estratégia proposta e proporemos algoritmos específicos para resolvê-los na seção subseqüente. Lembrando que b t denota o vetor da carteira no dia de negociação, o primeiro método proposto para Reversão à Média Agressiva Passiva (PAMR) é formulado como a otimização restrita abaixo:
Problema de Otimização 1.
Embora a formulação acima seja razoável para atender às nossas preocupações, ela pode ter algumas propriedades indesejáveis ​​em situações com parentes de preços barulhentos, que são comuns em mercados financeiros de palavras reais. Por exemplo, um parente de preço barulhento que apareça em algumas sequências de tendência pode mudar de repente a carteira em uma direção errada devido à atualização agressiva. Para evitar tais problemas, propomos duas variantes do PAMR que são capazes de compensar entre agressividade e passividade. A idéia de formular as duas variantes PAMR é semelhante às máquinas de vetor de suporte de margem suave, introduzindo algumas variáveis ​​de folga não negativas na otimização. Especificamente, para a primeira variante, modificamos a função objetivo introduzindo um termo que escala linearmente com relação a ξ, o que resulta na seguinte otimização:
Problema de otimização 2.
Em vez de usar um termo linear de variável slack, na segunda variante, modificamos a função objetivo introduzindo um termo variável slack que escala quadraticamente em relação a ξ, o que resulta no seguinte problema de otimização:
Problema de otimização 3.
4.3 Algoritmos.
Nós agora derivamos as soluções aproximadas para as três formulações PAMR acima usando técnicas padrão de análise convexa (Boyd e Vandenberghe 2004), e apresentamos os algoritmos PAMR propostos para a tarefa de seleção de portfólio. Especificamente, as três proposições a seguir resumem as soluções para os métodos PAMR.
Proposição 1
A prova pode ser encontrada no Apêndice A. □
Proposição 2.
A prova pode ser encontrada no Apêndice B. □
Proposição 3.
A prova pode ser encontrada no Apêndice C. □
As estratégias de Reversão à Média Agressiva Passiva (PAMR) propostas.
4.4 Análise e interpretação.
Para refletir a idéia de negociação de reversão à média, estamos interessados ​​em analisar as regras de atualização resultantes dos algoritmos PAMR propostos, que envolvem principalmente o portfólio b t +1 e o tamanho do passo τ t. Em particular, queremos examinar como as regras de atualização estão relacionadas ao retorno e ao risco - as duas preocupações mais importantes em uma tarefa de seleção de portfólio.
Primeiro de tudo, analisamos a regra de atualização de portfólio resultante em (5) para os três algoritmos PAMR, isto é, \ (\ mathbf _ = \ mathbf _ - \ tau_ (_ - \ bar _ \ mathbf>) \). Na regra de atualização, o tamanho do passo τ t não é negativo e \ (\ bar> _ \) é o retorno médio ou o retorno do mercado. Para o termo \ (_ - \ bar _ \ mathbf> \), podemos ver que ele representa retornos anormais de ações em relação ao mercado no primeiro dia de negociação. Mais precisamente, podemos interpretá-lo como o vetor direcional para a transferência de peso. O sinal negativo antes do termo indica que o esquema de atualização resultante é consistente com a motivação, ou seja, os pesos devem ser transferidos de ações com melhor desempenho (com retornos anormais positivos) para ações com desempenho pior (com retornos anormais negativos) no início de próximo dia.
Além disso, outra atualização importante é o tamanho do passo τ t calculado como (6), (7) e (8), para três métodos PAMR, respectivamente. O tamanho do passo τ t controla de forma adaptativa os pesos a serem transferidos, tomando efeito no vetor direcional. Um termo interessante em comum para as três atualizações de τt é \ (\ frac ^> _ - \ bar _ \ mathbf \ Vert ^> \). O numerador do termo é igual ao retorno diário da carteira, menos o limiar médio de reversão. Assumindo que outras variáveis ​​são constantes, se o retorno for alto (baixo), isso leva a um grande (pequeno) valor de t, que transfere de forma mais agressiva a riqueza de ações com melhor desempenho para ações com desempenho pior. O denominador é essencialmente a variabilidade quadrática do mercado, ou seja, o número de ações vezes a variação de mercado do dia de negociação. In modern portfolio theory, variance of stock return is typically regarded as a volatility risk term for a portfolio (Markowitz 1952 ). As indicated by the denominator, if the risk is high (low), the step size τ t would become small (large). As a result of small (large) step size, the weight transfer made by the update scheme will be weakened (strengthened), which is consistent with our intuition that prediction would be not accurate in drastically dropping markets, and we opt to make relatively less transfer in order to reduce risk. Moreover, PAMR-1 caps the step size by a constant C , while PAMR-2 decreases the step size by adding a constant \(\frac \) to its denominator. Both measures can prevent drastic weight transfer in case of noisy price relatives, which is consistent with their motivations.
From the above analysis on the updates of direction and step size, we can conclude that PAMR nicely balances between return and risk and clearly reflects the mean reversion trading idea. To the best of our knowledge, this important trade-off between return and risk has been considered by only one existing approach, that is, nonparametric kernel-based Markowitz-type strategy (Ottucsák and Vajda 2007 ). While the kernel-based Markowitz-type strategy trades off the return and risk with respect to similar historical price relatives, the proposed PAMR explicitly trades off the return and risk with respect to last price relatives. This nice property distinguishes the proposed approach from most existing approaches that often cater to return, but ignore the risk concern, and are therefore undesirable according to modern portfolio theory (Markowitz 1952 ).
Now let us briefly analyze the time complexity of the proposed PAMR algorithms. From Fig. 2 , we can see that besides the normalization step, PAMR strategy takes O( m ) per trading day, where m denotes the number of assets. Moreover, the normalization or projection step (Step 7 in Fig. 2 ) can be efficiently implemented (Michelot 1986 ; Duchi et al. 2008 ). In our implementation, we adopt the projection 2 according to Duchi et al. ( 2008 ), which takes linear time with respect to m . Thus, the total time complexity is O( mn ), where n is the total number of trading days. Such time complexity is the same as that of EG algorithm and is much superior to other existing methods. Linear time complexity enables the proposed algorithm to handle transactions in certain scenarios where low latency is of crucial importance, such as high frequency trading (Aldridge 2009 ).
4.5 Discussions.
4.5.1 Discussion on intuitions.
Although the motivating example in Sect. 4.1 demonstrates the effectiveness of PAMR over BCRP strategy, PAMR may not always outperform BCRP. In general, PAMR is an online algorithm while BCRP is offline optimal for an i. i.d. market (see Cover and Thomas 1991 , Theorem 15.3.1). Next, we discuss some possible situations where PAMR may fail to outperform BCRP.
Consider a special case where one stock crashes and the other explodes, e. g., a market sequence of two stocks as \((\frac , 2 ),(\frac , 2 ), \ldots\) . Assuming the same parameter settings as the motivating example, BCRP will increase at an exponential rate 2 n as it wholly invests in the 2nd asset, while PAMR will keep a fixed wealth on \(\frac \) over the trading period. Obviously, in such a situation, PAMR performs much worse than BCRP does, i. e., PAMR produces a cumulative wealth of \(\frac \) against 2 n achieved by BCRP over a n trading period. Though not shiny in such situations, PAMR still bounds its losses. Moreover, such a market, which violates the mean reversion assumption, is occasional, at least from the view point of our empirical studies.
4.5.2 Discussion on loss function.
In our definition of loss function, that is, ( 1 ), we use the original portfolio expected return b ⋅ x t , while it is possible to use log utility (Latané 1959 ) on the return, that is, log( b ⋅ x t ). With this log utility, the optimization problems ( 2 ), ( 3 ), and ( 4 ) are all non-convex and nonlinear, and thus difficult to solve. One way to solve these non-convex optimization problems is to use log’s first-order Taylor expansion at last portfolio and ignore the higher order terms, that is, \(\log (\mathbf \cdot\mathbf _ ) \approx\log (\mathbf _ \cdot\mathbf _ )+\frac _ > _ \cdot\mathbf _ > (\mathbf -\mathbf _ )\) . After linear approximation, the optimization problems can be solved using the same techniques used in our derivation. However, such linear approximation of loss function may have some drawbacks. First of all, linear approximation yields a upper bound on regret in terms of a log utility loss function. There is no way to justify the goodness of the linear approximation. Moreover, if we use log utility, then the loss function is flat, then sharply rises and finally flattens out. While linear approximation is good in the two flat regimes, it is typically terrible at the point of non-differentiability and sub-par in the sharply rising region.
On the other hand, for the loss function in form of ( 1 ) without log utility or with linear approximation of log utility, the best possible regret in a minimax sense is at most O( \(\sqrt \) ) (Abernethy et al. 2009 ), while true log loss minimization algorithm can routinely achieve O(log n ). However, although our loss function is non-differentiable and it would achieve a potential regret of O( \(\sqrt \) ), it is not a traditional loss function maximizing return (like traditional loss function, −log( b ⋅ x t )), but only a tool to realize mean reversion. Thus the regret achieved using our loss function does not represent a regret about return, which may not be meaningful as traditional regret bound is.
Anyway, the potential worse bound may have unknown weaknesses, which may not be elicited by the following empirical evaluations. Though on our experiments PAMR works well, anyone who cares about its theoretical aspects should be notified about the possible worse bound.
4.5.3 Discussion on formulation.
Although our formulations mainly focus on the portfolio daily return without explicitly dealing with risk (e. g., volatility of daily returns), the final derived algorithms can be nicely interpreted as certain trade-offs between risk and return, as discussed in Sect. 4.4 . Such interesting observation is further verified by our empirical evaluation in Sect. 5.4.2 , which shows that the proposed PAMR algorithms achieve good risk-adjusted return in terms of two risk-related metrics (i. e., volatility risk and drawdown risk, respectively).
Similar to previous studies, we avoid incorporating transaction cost in the original formulations, which simplifies the formulations and clearly highlights PAMR’s key ingredients. To further show the impact of transaction costs, it is not difficult to evaluate the effect of transaction costs, as shown in Sect. 5.2.2 . In the following empirical study, we present results on both cases: with and without transaction costs. From the empirical results in Sect. 5.4.5 , we find that in most markets, the proposed PAMR algorithms work well without or even with moderate transaction costs.
Besides, it is important to note that there are two key parameters in the proposed PAMR algorithm and its variants, viz., the sensitivity parameter ϵ and the aggressiveness parameter C . In practice, the choice of these parameters could affect the performance of the proposed algorithms. To achieve a good performance in a specific market, these parameters have to be finely tuned. We will thoroughly examine the effects of the two parameters on real-life datasets in Sect. 5.4.4 , and make suggestions for the empirical selection of their values.
4.5.4 Discussion on PAMR variants.
In this section, we will show an example to illustrate different behaviors of the three update rules, viz., PAMR, PAMR-1, and PAMR-2. Conforme discutido na Sect. 4.2 , one objective for PAMR-1 and PAMR-2 is to prevent the portfolio being affected too much from noisy price relatives, which might drastically change the portfolio. Let us assume the environments and parameter settings as follows. Let the t th price relative x t =(1.00,0.01), which represents the situations that the 2nd price relative is a noise, and the t th portfolio b t =(1,0). Setting the parameters ϵ =0.30 and C =1.00, let us calculate next portfolio b t +1 . This market environment describes the situations where certain price relatives drop significantly, which is similar to some stocks during recent financial crisis. Without tuning, the original PAMR algorithm would transfer a large proportion of wealth to the 2nd asset in the next trading day. This can be verified by examining the portfolio calculated by PAMR, viz., PAMR calculates the update step size τ t =1.43 and obtains the subsequent portfolio b t +1 =(0.29,0.71). However, a natural choice of avoiding such noisy price relatives is to put less proportion of wealth to the second asset. Now, when calculating the next portfolios by PAMR-1 and PAMR-2, we obtain the update step size τ t =1.00 and τ t =0.71, respectively, which are smaller than the update step size of the original PAMR, that is, τ t =1.43. Accordingly, we obtain the next portfolios b t +1 =(0.50,0.50) and b t +1 =(0.65,0.35) for PAMR-1 and PAMR-2, respectively. Clearly, PAMR-1 and PAMR-2 transfer less wealth to the 2nd asset than the original PAMR does. Thus, PAMR-1 and PAMR-2 in general suffer relatively less from noisy price relatives, though we cannot completely avoid such suffering situation.
4.6 Mixture algorithm.
One theoretical result desired by existing online portfolio selection algorithms is universal property (Cover 1991 ). Since mean reversion trading idea is counter-intuitive (Borodin et al. 2004 ), we find it is hard to prove the universality of PAMR. Alternatively, we present a general mixture algorithm, which guarantees worst-case performance, not for PAMR itself but for the mixture algorithm.
Briefly speaking, the proposed mixture algorithm frames PAMR as one “expert” in a mixture-of-experts setting, while at least one universal algorithm serves as other “experts”. Then, the proposed mixture adopts no-regret expert learning (Cesa-Bianchi and Lugosi 2006 ) to bound the regret of the overall system with respect to the best of these experts. If the mixture algorithm contains at least one universal algorithm, 3 then the universality of the mixture algorithm can be straightforwardly proved according to Cesa-Bianchi and Lugosi ( 2006 ) (see Example 10.3 and Theorem 10.3 for rigorous proofs). In our implementation, we adopt uniform buy and hold (BAH) mixture strategy, that is, we give equal proportion of portfolio wealth to each expert, let them run, and finally pool them again. We denote the BAH mixture algorithm as “MIX”. Other expert learning methods, such as exponential weighted, can also replace the buy and hold strategy, and they can also provide provable guarantees and get potentially stronger empirical performance. Though MIX seems trivial since it has a more involved mixing rule, one can make it nontrivial by extending the setting in a more general setting, such as the framework proposed by Akcoglu et al. ( 2002 ) and Das and Banerjee ( 2011 ). Obviously, such a mixture algorithm can be applied to any portfolio selection algorithm, either universal or not.
Though it is convenient to propose a mixture model consisting of PAMR such that the mixture model can achieve universality, PAMR’s universal consistency is still an open question and deserves further exploration.
5 Numerical experiments.
To examine the empirical efficacy of the proposed PAMR strategy, we conduct an extensive set of numerical experiments on a variety of real datasets. In our experiments, we adopt six real datasets, which were collected from several diverse financial markets. The performance metrics include cumulative wealth and risk-adjusted returns (volatility risk and drawdown risk). We also compare the proposed PAMR algorithms with all existing algorithms stated in the related work section.
5.1 Experimental testbed on real data.
Summary of the six real datasets in our numerical experiments.
Jul. 3rd 1962–Dec. 31st 1984.
Jan. 1st 1985–Jun. 30th 2010.
Jan. 4th 1994–Dec. 31st 1998.
Jan. 2nd 1998–Jan. 31st 2003.
Apr. 1st 2006–Mar. 31st 2010.
Jan. 14th 2001–Jan. 14th 2003.
The first one is NYSE dataset, one “standard” dataset pioneered by Cover ( 1991 ) and followed by several other researchers (Singer 1997 ; Helmbold et al. 1996 ; Borodin et al. 2004 ; Agarwal et al. 2006 ; Györfi et al. 2006 , 2008 ). This dataset contains 5651 daily price relatives of 36 stocks 5 in New York Stock Exchange (NYSE) for a 22-year period from Jul. 3rd 1962 to Dec. 31st 1984. We denote this dataset by “NYSE (O)” for short.
The second dataset is the extended version of the above NYSE dataset. For consistency, we collected the latest data in New York Stock Exchange (NYSE) from Jan. 1st 1985 to Jun. 30th 2010, which consists of 6431 trading days. We denote this new dataset as “NYSE (N)”. 6 It is worth noting that this new dataset consists of 23 stocks rather than the previous 36 stocks owing to amalgamations and bankruptcies. All self-collected price relatives are adjusted for splits and dividends, which is consistent with the previous “NYSE (O)” dataset.
The third dataset “TSE” is collected by Borodin et al. ( 2004 ), which consists of 88 stocks from Toronto Stock Exchange (TSE) containing price relatives of 1259 trading days, ranging from Jan. 4th 1994 to Dec. 31st 1998. The fourth dataset “SP500” is collected by Borodin et al. ( 2004 ), which consists of 25 stocks with the largest market capitalizations in the 500 SP500 components. It ranges from Jan. 2nd, 1998 to Jan. 31st 2003, containing 1276 trading days.
The fifth dataset is “MSCI”, a collection of global equity indices which are the constituents of MSCI World Index. 7 It contains 24 indices which represent the equity markets of 24 countries around the world, and consists of a total of 1043 trading days, ranging from Apr. 1st 2006 to Mar. 31st 2010. The final dataset is the “DJIA” dataset collected by Borodin et al. ( 2004 ), which consists of Dow Jones 30 composite stocks. DJIA contains 507 trading days, ranging from Jan. 14th 2001 to Jan. 14th 2003.
Besides the above six real market data, in the experiments, we also ran each dataset in their reverses (Borodin et al. 2004 ). For each dataset, we created a reversed dataset, which reverses the original order and inverts the price relatives. We denote these reverse datasets using a ‘−1’ superscript on the original dataset names. In nature, these reverse datasets are quite different from the original datasets, and we are interested in the behaviors of the proposed algorithm on these artificial datasets.
Unlike the previous studies, the above testbed covers much longer trading periods from 1962 to 2010 and much more diversified markets, which enables us to examine how the proposed PAMR strategy performs under different events and crises. For example, it covers several well-known events in the stock markets, such as dot-com bubble from 1995 to 2000 and subprime mortgage crisis from 2007 to 2009. The five stocks datasets are mainly chosen to test the capability of the proposed PAMR on regional stock markets, while the “MSCI” dataset aims to test PAMR’s capability on global indices, which may be potentially applicable to “Fund on Fund” (FOF). 8 As a remark, although we numerically test the PAMR algorithm on stock markets, we note that the proposed strategy could be generally applied to any type of financial markets.
5.2 Experimental setup and metrics.
Regarding the parameter settings, there are two key parameters in the proposed PAMR algorithms. One is the sensitivity parameter ϵ and the other is the aggressiveness parameter C . Roughly speaking, the best values for these parameters are often dataset dependent. In the experiments, we simply set these parameters empirically without tuning for each dataset separately. Specifically, for all datasets and experiments, we set the sensitivity parameter ϵ to 0.5 in the three algorithms, and set the aggressiveness parameter C to 500 in both PAMR-1 and PAMR-2, with which the cumulative wealth achieved tends to be stable for the proposed PAMR on most datasets. It is worth noting that these choices for parameters are not always the best. Our experiments on the parameter sensitivity in Sect. 5.4.4 show that the proposed PAMR algorithms are quite robust with respect to different parameter settings.
For the proposed mixture algorithm (MIX), we set the expert pool 9 as initial uniform combination of PAMR, ONS, Anticor, and B NN , and individual experts are set according to their respective studies.
We adopt the most common metric, cumulative wealth , to primarily compare different trading strategies. In addition to the cumulative wealth, we also adopt annualized Sharpe Ratio (SR) to compare the performance of different trading algorithms. In general, the higher the values of the cumulative wealth, and the annualized Sharpe Ratio, the better the performance of the compared algorithm. Besides, we also adopt Maximum Drawdown (MDD) and Calmar Ratio (CR) for analyzing the downside risk of the PAMR strategy. The lower the MDD value, the more preferable the trading algorithm concerning the downside risk. The higher the CR value, the more performance efficient the trading algorithm concerning the downside risk. The performance criteria are detailed in the following section.
5.2.1 Performance criteria.
One of the standard criteria to evaluate the performance of a strategy is portfolio cumulative wealth achieved by the strategy until the end of the whole trading period. In our study, we simply set the initial wealth S 0 =1 and thus the notation S n also denotes portfolio cumulative return at the end of the n th trading day, which is the ratio of the portfolio cumulative wealth divided by the initial wealth. Another equivalent criterion is annualized percentage yield (APY) which takes the compounding effect into account, that is, \( >=\sqrt[y] _ >-1\) , where y is the number of years corresponding to n trading days. APY measures the average wealth increment that one strategy could achieve compounded in a year. Typically, the higher the value of portfolio cumulative wealth or annualized percentage yield, the more performance preferable the trading strategy is.
For some process-dependent investors (Moody et al. 1998 ), it is important to evaluate risk and risk-adjusted return of portfolios (Sharpe 1963 , 1994 ). One common way to achieve this is to use annualized standard deviation of daily returns to measure the volatility risk and annualized Sharpe Ratio (SR) to evaluate the risk-adjusted return. For portfolio risk, we calculate the standard deviation of daily returns, and multiply by \(\sqrt \) (here 252 is the average number of annual trading days) to obtain annualized standard deviation. For risk-adjusted return, we calculate annualized Sharpe Ratio according to, \( >=\frac >-R_ > >\) , where R f is the risk-free return (typically the return of Treasury bills, fixed at 4% in this work), and σ p is the annualized standard deviation of daily returns. Basically, higher annualized Sharpe Ratios indicate better performance of a trading strategy concerning the volatility risk.
The investment community often analyzes DrawDown (DD) (Magdon-Ismail and Atiya 2004 ) to measure the decline from a historical peak in the cumulative wealth achieved by a financial trading strategy. Formally, let S (⋅) denote the process of cumulative wealth achieved by a trading strategy, that is, S 1 ,…, S t ,…, S n >. The DrawDown at any time t , is defined as DD( t )=max[0,max i ∈(0, t ) S ( i )− S ( t )]. The Maximum DrawDown for a horizon n , MDD( n ) is defined as, MDD( n )=max t ∈(0, n ) [DD( t )], which is an excellent way to measure the downside risk of different strategies. Moreover, we also adopt Calmar Ratio (CR) to measure the return relative of the drawdown risk of a portfolio, calculated as \( > = \frac > >\) . Generally speaking, the smaller the Maximum DrawDown, the more downside risk tolerable the financial trading strategy. Higher Calmar Ratios indicate better performance of a trading strategy concerning the drawdown risk.
To test whether simple luck can generate the return of the proposed strategy, we can also conduct a statistical test to measure the probability of this situation, as is popularly done in the fund management industry (Grinold and Kahn 1999 ). First, we separate the portfolio daily returns into two components: one benchmark-related and the other non-benchmark-related by regressing the portfolio excess returns 10 against the benchmark excess returns. Formally, s t − s t (F)= α + β ( s t (B)− s t (F))+ ϵ ( t ), where s t stands for the portfolio daily returns, s t (B) denotes the daily returns of the benchmark (market index) and s t (F) is the daily returns of the risk-free assets (here we simply choose Treasury bill and set it to 1.000156, or equivalently, annual interest of 4%). This regression estimates the portfolio’s alpha ( α ), which indicates the performance of the investment after accounting for the involved risk. Then we conduct a statistical t - test to evaluate whether alpha is significantly different from zero, by using the t statistic \(\frac (\alpha )>\) , where SE( α ) is the standard error for the estimated alpha. Thus, by assuming the alpha is normally distributed, we can obtain the probability that the returns of the proposed strategy are generated by simple luck. Generally speaking, the smaller the probability, the higher confidence the trading strategy.
5.2.2 Practical issues.
While our model described in Sect. 2 is concise and not complicate to understand, it omits some practical issues in the portfolio management industry. We shall now relax some constraints in our model to address these issues.
Another practical issue in portfolio selection is margin buying , which allows the portfolio managers to buy securities with cash borrowed from security brokers. Following previous studies (Cover 1991 ; Helmbold et al. 1996 ; Agarwal et al. 2006 ), we relax this constraint in the model and evaluate it empirically in Sect. 5.4.5 . In this study, the margin setting is assumed to be 50% down and 50% loan, at an annual interest rate of 6%, so the interest rate of the borrowed money, c is set to 0.000238. Thus, for each security in the asset pool, a new asset named “Margin Component” is generated. Following the down and loan percentage, the price relative for the “Margin Component” of asset i would be 2∗ x ti −1− c , where x ti is the price relative of the i th asset for the t th trading day. In cases of \(x_ \leq\frac \) , that is, certain stocks drop more than half, we simply set “Margin Component” to 0. By adding this “Margin Component”, we magnify both the potential profit and loss of the trading strategy on the i th asset.
5.3 Comparison approaches.
Market: Market strategy, that is, uniform Buy-And-Hold (BAH) strategy;
Best-Stock: Best stock in the market, which is a strategy in hindsight;
BCRP: Best Constant Rebalanced Portfolios strategy in hindsight;
UP: Cover’s Universal Portfolios implemented according to Kalai and Vempala ( 2002 ), where the parameters are set as δ 0 =0.004, δ =0.005, m =100, and S =500;
EG: Exponential Gradient (EG) algorithm with the best parameter η =0.05 as suggested by Helmbold et al. ( 1996 );
ONS: Online Newton Step (ONS) with the parameters suggested by Agarwal et al. ( 2006 ), that is, η =0, β =1, \(\gamma=\frac \) ;
SP: Switching Portfolios with parameter \(\gamma=\frac \) as suggested by Singer ( 1997 );
GRW: Gaussian Random Walk strategy with parameter σ =0.00005 recommended by Levina and Shafer ( 2008 );
M0: Prediction based algorithm M0 with parameter β =0.5 as suggested by Borodin et al. ( 2000 );
Anticor: BAH 30 (Anticor(Anticor)) as a variant of Anticor to smooth the performance, which achieves the best performance among the three solutions proposed by Borodin et al. ( 2004 );
B K : Nonparametric kernel-based moving window (B K ) strategy with W =5, L =10 and threshold c =1.0 which has the best empirical performance according to Györfi et al. ( 2006 );
B NN : Nonparametric nearest neighbor based strategy (B NN ) with parameters W =5, L =10 and \(p_ =0.02+0.5\frac \) as the authors suggested (Györfi et al. 2008 ).
5.4 Experimental results.
5.4.1 Experiment 1: evaluation of cumulative wealth.
Cumulative wealth achieved by various trading strategies on the six datasets and their reversed datasets. The top two best results in each dataset are highlighted in bold font.
First of all, we observe that learning to select portfolio strategies generally perform better than three common benchmarks, which shows that it is promising to investigate learning algorithms for portfolio selection. Second, we find that although the cumulative wealth achieved by the regret minimization approaches (UP, EG and ONS) is higher than market strategy, their performance is significantly lower than that achieved by the wealth maximization approaches (Anticor, B K and B NN ). This shows that to achieve better investment return, it is more powerful and promising to exploit the wealth maximization approaches for portfolio selection. Third, from the top two results indicated on each original dataset, it is clear that the proposed PAMR strategy (PAMR, PAMR-1, and PAMR-2) significantly outperforms most (except DJIA datasets) competitors including Anticor, B K and B NN , which are the state of the arts. The encouraging results in cumulative wealth validate the importance of exploiting the mean reversion property in the financial markets by an effective online learning strategy. On the other hand, though MIX beats the benchmarks on the DJIA dataset, PAMR algorithms perform bad on the DJIA dataset. This may be attributed to the reason that the motivating mean reversion does not exist in this dataset. This raises an important question, “How to select the portfolio pool such that the motivating mean reversion exists on target portfolio?” Sect. 5.5.2 provides some discussions on this question.
Further examining the details, we find that the most impressive performance is achieved by PAMR on the standard NYSE (O) dataset, where its initial wealth grows by a factor of more than 5 quadrillion at the end of the 22-year period. We note that the main reason PAMR achieved such exceptional results is that it is powerful to exploit highly volatile price relatives. To verify this, we examine the detailed performance of PAMR in Table 4 by looking into individual stocks, and we find that it relies considerably on one single stock (“Kin Ark”) which has the highest volatility in terms of standard deviation. After removing this stock from the portfolio, we find that the cumulative wealth significantly reduces to 1.27E+08. We will investigate the volatility issue in more details by another experiment on dataset sensitivity in Sect. 5.4.3 .
On the reverse datasets, though not performing as shiny as the original datasets, PAMR also performs well. Though some algorithms fail badly, in all cases, PAMR beats the benchmarks, including the market and BCRP strategies. In certain cases, it beats all competitors. It is worth noting these reverse datasets are artificial datasets, which never exist in real markets. PAMR’s performance on these datasets provides strong evidences that mean reversion does exist in even reverse market datasets and PAMR can successfully exploit it.
Trends of cumulative wealth achieved by various strategies during the entire trading periods on the stock datasets.
Statistical t - test of the performance of the PAMR on the stock datasets.
Mean excess return (PAMR)
Mean excess return (Market)
5.4.2 Experiment 2: evaluation of risk and risk-adjusted return.
Risk and risk-adjusted performance of various strategies on the six different datasets. In each diagram , the rightmost bars represent the results achieved by PAMR.
In previous cumulative wealth results, we find that PAMR achieved the highest cumulative return on most original datasets. Of course, high return is associated with high risk, which is commonly acceptable in finance, as no real financial instrument can guarantee a high return without risk. The volatility risk in Fig. 4 (a) shows that PAMR almost achieves the highest risk in terms of volatility risk. On the other hand, the drawdown risk in Fig. 4 (b) shows that PAMR achieves modest drawdown risk in most datasets. These results validate the above notion that high return is often associated with high risk.
To further evaluate the return and risk, we examine the risk-adjusted return in terms of annualized Sharpe ratio and Calmar ratio. The results shown in Figs. 4 (c) and 4 (d) clearly show that PAMR achieves excellent performance in most cases, except DJIA dataset. These encouraging results show that PAMR is able to reach a good trade-off between return and risk, even though we do not explicitly consider risk in our problem formulation.
5.4.3 Experiment 3: dataset sensitivity.
As observed in Sect. 5.4.1 , it is interesting that PAMR gained the excess return from the stock markets. In this section, we aim to examine how the dataset sensitivity affects the proposed PAMR strategy by evaluating performance on datasets of different volatilities.
Cumulative wealth achieved by various strategies on portfolios of extreme volatilities. The “ H/L ratio ” column shows the ratio between the cumulative wealth achieved on the high-volatility dataset and that achieved on the low-volatility dataset.
From the results, we find that different strategies perform diversely on these two datasets. The regret minimization approaches (UP, EG and ONS), perform well regardless of the market volatilities as the theoretical universal property shows, while the wealth maximization approaches (Anticor, B K and B NN ) and the proposed PAMR strategy achieved significantly higher cumulative wealth on NYSE (H), the high-volatility dataset. These results show that the volatility of datasets does considerably affect some algorithms, including the wealth maximization approaches and the proposed PAMR strategy. Specifically, we find that the proposed PAMR strategy could benefit much from a high-volatility dataset. For example, on the NYSE (L) dataset, the cumulative wealth achieved by PAMR algorithm is about 132, which is significantly boosted to 1.35E+05 on the NYSE (H) dataset. To further examine which algorithm can benefit most from high-volatility dataset, we calculate the “H/L ratio” value, which is the ratio of cumulative wealth achieved on the high-volatility dataset over that achieved on the low-volatility dataset. From the ratios, we can observe that the PAMR strategy obtained the highest H/L ratio, indicating that PAMR can benefit most from the high-volatility dataset among all the competing methods.
5.4.4 Experiment 4: parameter sensitivity.
We now evaluate how different choices of parameters affect the performance of the proposed PAMR strategy. All three PAMR algorithms require to set sensitivity parameter ϵ , while aggressiveness parameter C is needed for PAMR-1 and PAMR-2.
Parameter sensitivity of the cumulative wealth achieved by PAMR with respect to sensitivity parameter ϵ.
Parameter sensitivity of the cumulative wealth achieved by PAMR-1 with respect to sensitivity parameter ϵ and aggressiveness parameter C.
Parameter sensitivity of the cumulative wealth achieved by PAMR-2 with respect to sensitivity parameter ϵ and aggressiveness parameter C.
5.4.5 Experiment 5: evaluation of practical issues.
For a real-world application, there are some important practical issues for portfolio selection, including the issues of transaction cost and margin buying. This experiment aims to examine how these practical issues affect the proposed PAMR strategy.
Scalability of the cumulative wealth achieved by PAMR with respect to transaction cost rate ( γ ). The break-even transaction cost rates to the market index are about 0.7%, 0.4%, 0.1%, 0.3% and 0% on the six datasets, respectively.
From the results shown in the figure, we can observe that PAMR can withstand reasonable transaction cost rates. For example, with a transaction cost rate of 0.2%, PAMR can beat the BCRP strategy on the four datasets. The break-even transaction cost rates with respect to the market index ranges from 0.1% to 0.7% on the datasets, except DJIA. Since PAMR more actively reverts to the mean and thus results in more drastic portfolio changes, it surpasses Anticor with low or medium transaction costs while it underperforms Anticor with high transaction costs, On the other hand, it outperforms B NN in most cases. Note that the transaction cost rate in real market is low. 11 This experiment clearly shows the practical applicability of the proposed PAMR strategy when we take transaction cost into consideration.
Cumulative wealth achieved by various strategies on the stock datasets with/without margin loans (ML). Top two achievements on each dataset are highlighted.
5.4.6 Experiment 6: evaluation of computational time cost.
Computational time cost on the real datasets (in seconds)
From the results, we can clearly see that in all cases the proposed PAMR takes significant less computational time than the three performance comparable strategies. Even though the computational time in the back tests, especially per trading day, is small, it is important in certain scenarios such as high frequency trading (Aldridge 2009 ), where transactions may occur in a fraction of a second. Nevertheless, the results clearly demonstrate the computational efficiency of the proposed PAMR strategy, which is also an important concern for real-world large-scale applications.
5.5 Discussions and threads to validity.
5.5.1 Discussion on model assumption.
Any statement about such encouraging empirical results would be incomplete without acknowledging the simplified assumptions made in Sect. 2. To recall, we had made several assumptions regarding transaction cost, market liquidity and market impact, which would affect the practical deployment of the proposed algorithm.
The first assumption is that no transaction cost exists. Na Sect. 5.4.5 we have already examined the effect of varying transaction costs, and the results show that the proposed algorithm can withstand moderate transaction costs. Currently, with the wide-spread adoption of electronic communication networks (ECNs) and multilateral trading facilities (MTFs) on financial markets, various online trading brokers charge very small transaction cost rates, especially for large institutional investors. They also use a flat-rate, 12 based on the volume threshold one reaches. Such measures can facilitate the portfolio managers to lower their transaction cost rates.
The second assumption is that the market is liquid and one can buy and sell any quantity at the quoted price. In practice, low market liquidity results in a large bid-ask spread — the gap between prices quoted for an immediate bid and an immediate ask. As a result, the execution of orders may incur a discrepancy between the prices sent by the algorithm and the prices actually executed. Moreover, stocks are often traded in multiples of lot , which is the standard trading unit containing certain number of stock shares. In this situation, the quantity of the stocks may not be arbitrary divisible. In the experiments, we have tried to minimize the effect of market liquidity by choosing the stocks that have large market capitalization, which usually have small bid-ask spreads and discrepancy, and thus have a high market liquidity.
The other assumption is that the portfolio strategy would have no impact on the market, that is, the stock market will not be affected by the trading algorithm. In practice, the impact can be neglected if the market capitalization of the portfolio is not too large. However, as the experimental results show, the portfolio wealth generated by PAMR increases astronomically, which would inevitably impact the market. One simple way to handle this issue is to scale down the portfolio, as done by many quantitative funds. Moreover, the development of algorithmic trading, which slices a big order into multiple smaller orders and schedules these orders to minimize the market impact, can significantly decrease the potential market impact of the proposed algorithm.
Here, we emphasize again that this study assumes a “perfect market”, which is consistent with previous studies in literature. It is important to note that even in such a perfect financial market, no algorithm has ever claimed such high performance, especially on the standard NYSE (O) dataset. Though it is common investment knowledge that past performance may not be reliable indicator of future performance, such high performance does provide us confidence that the proposed PAMR algorithm may work well in future unseen markets.
5.5.2 Discussion on PAMR assumption.
Though the proposed algorithm performs well on most datasets, we can not claim that PAMR can perform well on arbitrary portfolio pools. It is worth noting that PAMR relies on the assumption that mean reversion exists in a portfolio pool, that is, buying worse performing stocks is profitable. Preceding experiments seem to show that in most cases mean reversion does exist in the market. However, it is still possible that this assumption fails to exist in certain cases, especially when portfolio components are wrongly selected. PAMR’s performance on DJIA dataset indicates that mean reversion may not exist in its portfolio components. Though both based on mean reversion, PAMR and Anticor are formulated with different time periods of mean reversion, which may interpret why Anticor achieves a good performance on DJIA. Thus before investing in real market, it is of crucial importance to ensure that the motivating mean reversion does exist among the portfolio pools. In academic, mean reversion property in single stock has been extensively studied (Poterba and Summers 1988 ; Hillebrand 2003 ; Exley et al. 2004 ), one natural way is to calculate the sign of auto-correlation (Poterba and Summers 1988 ). On the contrary, the mean reversion property among a portfolio lacks academic attention. Compared with mean reversion in single stock, for a portfolio, not only the mean reversion of single stock matters, but rather the interaction among stocks matters.
On the other hand, the mixture algorithm, that is, MIX, performs well on the DJIA dataset, beating three benchmarks. As we discussed in Sect. 4.6 , the mixture algorithm can provide a worst-case guarantee, which is lacked for the original PAMR algorithms. This can somehow solve the problem that PAMR itself does not have a worst-case guarantee. Moreover, it is worth noting that even with worst-case guarantee, some existing universal algorithms also perform poorly on the dataset.
Average daily return and standard deviation of the test strategy.
It is interesting to observe above results, however, we cannot claim that this method can definitely identify successful portfolio pools. Analyzing the mean reversion property in portfolio scenario and selecting portfolio components such that the portfolio satisfies mean reversion deserve further attention.
5.5.3 Discussion on back tests.
Back tests in historical markets may suffer from “data-snooping bias” issue. One common “data-snooping bias” is dataset selection issue. On the one hand, we selected four datasets, that is, NYSE (O), TSE, SP500, and DJIA datasets, based on previous studies without consideration to the proposed approach. On the other hand, we developed the PAMR algorithm based solely on NYSE (O) dataset, while other five datasets (NYSE (N), TSE, SP500, MSCI and DJIA datasets) were obtained after the algorithm was fully developed. However, even we are cautious about the dataset selection issue, it may still appear in the experiments, especially for the datasets with relatively long history, that is, NYSE (O) and NYSE (N). The NYSE (O) dataset, pioneered by Cover ( 1991 ) and followed by other researchers, becomes one “standard” dataset in the learning community. Since it contains 36 large cap NYSE stocks that survived in hindsight for 22 years, thus it suffers from extreme survival bias. Nevertheless, it still has the merit to compare the performance among algorithms as done in all previous work. The NYSE (N) dataset, as a continuation of NYSE (O), contains 23 assets survived from previous 36 stocks for another 25 years. Therefore, it becomes even worse than the previous NYSE (O) dataset in terms of survival bias. In a word, even the experiment results on these datasets clearly show the effectiveness of the proposed PAMR algorithm, one can not make claims without noticing the deficiencies of these datasets.
Another common bias is asset selection issue. Four of the six datasets (NYSE (O), TSE, SP500, and DJIA) are collected by others, and to the best of our knowledge, their assets are mainly the largest blue chip stocks in their respective markets. As a continuation of NYSE (O) dataset, we self-collected NYSE (N) , which again contains several largest survival stocks in NYSE (O). The remaining dataset (MSCI) is chosen according to the world indices. In a word, we try to avoid the asset selection bias via arbitrarily choosing the representative stocks in their respective markets, which usually have large capitalization and thus high liquidity. Moreover, investing in these largest assets may reduce the market impact caused by the proposed portfolio strategy. Finally, following existing model assumption and experimental setting, we do not consider the assets of low quality, such as the bankrupt stocks and penny stocks. On the one hand, the bankrupt stock data is difficult to acquire, thus we cannot observe their behaviors and predict the behaviors of PAMR on datasets with bankrupt stocks. In reality, the bankruptcy situation happens rarely for the blue chip stocks as typically a bankrupt stock would be removed from the list of blue chip stocks before it actually goes bankruptcy. On the other hand, the penny stocks lack the required liquidity to support the trading frequency in current research. Besides, one could also explore many practical strategies to exclude the low quality stocks from the asset pool at some early stage, such as some financial methods via either technical or fundamental analysis.
6. Conclusão.
In this article, we proposed a novel portfolio selection strategy, “Passive Aggressive Mean Reversion” (PAMR). Motivated by the idea of mean reversion and passive aggressive learning, PAMR outperforms all benchmarks and various existing strategies on a number of real datasets from different markets. PAMR can also be easily extended to handle certain practical issues, e. g., transaction cost and margin buying. At the same time, PAMR executes in much less time than existing approaches, making it suitable for online applications. We also find that the update scheme of PAMR is based on the trade-off between the return and volatility risk, which is ignored by most existing learning strategies. This interesting property connects the PAMR strategy with modern portfolio theory, which may provide further explanation from the aspect of finance.
Although in most cases the proposed PAMR strategy achieves encouraging empirical results, it is still far from perfect for a real investment task, and may be improved in the following aspects. First of all, though universality may not be required in real investment, PAMR’s universality is still an open question. Second, none of existing algorithms considers the bankrupt assets, which may happen in real investment. It is thus interesting to study the behaviors of the bankrupt assets and design strategies to exploit them. Besides, we note that PAMR sometimes fails when the mean reversion property does not exist in the portfolio components. Then it is crucial to propose efficient methods to test mean reversion. Finally, though PAMR handles the issue of transaction costs well, it is not formally addressed in our problem formulation. It would be interesting to incorporate the transaction cost issue when formulating the problem in order to improve the performance in case of high transaction costs and gain higher break-even ratios with respect to the market index.
Side information includes interest rates, consumer confidence figures, etc.
The precise matlab routine ProjectOntoSimplex can be found on cs. berkeley. edu/
Such statement also appeared in footnote 1 of Borodin et al. (2004).
All the datasets and their compositions can be downloaded from cais. ntu. edu. sg/
libin/portfolios . Borodin et al. ( 2004 )’s datasets can also be downloaded from cs. technion. ac. il/
According to Helmbold et al. ( 1996 ), the dataset was originally collected by Hal Stern. The stocks are mainly large cap stocks in NYSE, however, we do no know the criteria of choosing these 36 stocks.
The dataset before 2007 was collected by Gábor Gelencsér ( cs. bme. hu/
oti/portfolio ), we collected the remaining data from 2007 to 2010 via Yahoo Finance.
The constituents of MSCI World Index can be found from MSCI Barra ( mscibarra ), accessed on 28 May 2010.
It is worth noting that not every index is tradable through exchange traded funds (ETFs).
One can arbitrarily select experts, however, at least one universal algorithm should be included in order to guarantee the worst-case performance of the mixture algorithm.
Excess return is daily return less risk-free return.
For example, without consideration taxes and bid-ask, Interactive Broker charges 0.005$ per share traded. Considering the average price of Dow Jones Composite is around 50$ (accessed on June 2011), the percentage is about 0.01%.
For example, for US equities and options, E ∗ Trade ( global. etrade/gl/home , accessed on 16 March 2011) charges only $9.99 for $50000+ or 30+ stocks per quarter.
Agradecimentos.
This paper was fully supported by Singapore MOE Tier-1 Research Grant (RG67/07).
Appendix A: Proof of Proposition 1.
First, if \(\ell_ ^ =0\) then b t satisfies the constraint in ( 2 ) and is clearly the optimal solution.
Appendix B: Proof of Proposition 2.
Appendix C: Proof of Proposition 3.
Referências.
Informações sobre direitos autorais.
Autores e afiliações.
Bin Li 1 Peilin Zhao 1 Steven C. H. Hoi 1 Email author Vivekanand Gopalkrishnan 2 1. School of Computer Engineering Nanyang Technological University Singapore Singapore 2. Deloitte Analytics Institute Singapore Singapore.
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Paper: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection.
Matthias Knab, Opalesque:
This article proposes a novel online portfolio selection strategy named "Passive Aggressive Mean Reversion" (PAMR).
Unlike traditional trend following approaches, the proposed approach relies upon the mean reversion relation of financial markets. Equipped with online passive aggressive learning technique from machine learning, the proposed portfolio selection strategy can effectively exploit the mean reversion property of markets.
By analyzing PAMR's update scheme, we find that it nicely trades off between portfolio return and volatility risk and reflects the mean reversion trading principle. We also present several variants of PAMR algorithm, inc.
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Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection

I copied his source and made a small tweak to allow a no-operation backtest to complete, so others can clone his original. Grant and Thomas started the discussion here: quantopian/posts/share-algorithms-to-be-re-written-for-quantopian.
O material deste site é fornecido apenas para fins informativos e não constitui uma oferta de venda, uma solicitação de compra ou uma recomendação ou endosso para qualquer segurança ou estratégia, nem constitui uma oferta de prestação de serviços de consultoria de investimento pela Quantopian. Além disso, o material não oferece nenhuma opinião em relação à adequação de qualquer segurança ou investimento específico. Nenhuma informação contida neste documento deve ser considerada como uma sugestão para se envolver ou abster-se de qualquer curso de ação relacionado ao investimento, já que nenhuma das empresas atacadas ou nenhuma das suas afiliadas está a comprometer-se a fornecer conselhos de investimento, atuar como conselheiro de qualquer plano ou entidade sujeito a A Lei de Segurança de Renda de Aposentadoria do Empregado de 1974, conforme alterada, conta de aposentadoria individual ou anuidade de aposentadoria individual, ou dar conselhos em capacidade fiduciária em relação aos materiais aqui apresentados. Se você é um aposentadorio individual ou outro investidor, entre em contato com seu consultor financeiro ou outro fiduciário não relacionado a Quantopian sobre se qualquer idéia, estratégia, produto ou serviço de investimento descrito aqui pode ser apropriado para suas circunstâncias. Todos os investimentos envolvem risco, incluindo perda de principal. A Quantopian não oferece garantias sobre a precisão ou integridade das opiniões expressas no site. Os pontos de vista estão sujeitos a alterações e podem ter se tornado pouco confiáveis ​​por vários motivos, incluindo mudanças nas condições do mercado ou nas circunstâncias econômicas.
In case folks need some light bedtime reading. here are some relevant links:
Needless to say, it's pretty heavy stuff. As best I can tell, the secret sauce is in the last fairly recent paper cited above. I should be able to provide a full outline of the algorithm for comment, based on the above references. The implementation is not as complicated as the papers might suggest.
John - I just joined your site yesterday, so this might be a silly question, but why does your example above have no performance results for the Algorithm?
Eric, Not a silly question at all -- The algo doesn't place orders yet!
You are probably wondering why :). A few people are working with Grant to round out the implementation, and he shared the source code before it was fully implemented to help speed the collaboration.
The posts in the forums with the blue sparkline charts are examples that have real returns. The sparkline is a compressed version of the returns. The grayscale charts are for algorithms that don't generate returns, which are usually code samples or proofs of concept like this one.
thanks for asking!
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Hello Thomas (& others),
I've realized that I'd benefit from some Python/Quantopian coding expertise (I don't have experience with Python. one of my motivations here is to get a feel for it). Here are some tasks:
Write a Python/Quantopian implementation of the MATLAB function "simplex_projection. m" found in this file: cais. ntu. edu. sg/
chhoi/PAMR/PAMR. zip. In the same. zip file, you will find "pamr_1_run. m" which shows how the simplex projection function is called. Note that the author is claiming copyright to his MATLAB code. not sure what that means in this context. I decided not to copy his code into this forum, but give the link instead.
Awesome to see this project progressing! Some reactions:
I'll give it a shot and will post the resulting code here. Doesn't look too crazy.
Will let keep you posted.
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I continue to chip away at this project. One thing that is confusing is the authors' ad hoc "normalization" step at the end. If you have a look at p. 254 of PAMR: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection you'll find the basic outline of his solution to the OLMAR optimization problem (although the PAMR problem has different contraints, the math appears to be essentially the same). The murky part is captured in the authors' comment "that the non-negativity of portfolio b is not considered here since introducing this term causes too much complexity, and alternatively we project the resulting portfolio into a simplex to enforce the non-negativity constraint."
If you look at p. 1577 of Efficient learning of label ranking by soft projections onto polyhedra, the authors provide an example of how to incorporate the non-negativity constraint into the Lagrangian (the final term of the first equation on the page).
I figure that there ought to be a way to re-frame the optimization problem for clarity (although the final result is probably correct). I'll let you if I make any headway.
Yeah, this normalization is a little impractical. My guess is that the others spent quite some time to optimize with the Lagrangian multiplier that enforces b_i >= 0 but couldn't make it work. There is probably a way but I would imagine it to require some serious calculus-fu (because the authors couldn't figure it out themselves, despite having quite some incentive to do so). So my advice is (unless you really want to train using Lagrangian multipliers), just add the normalization. I ported the simplex_projection. m which seems to work just fine:
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I've gathered from a book I borrowed and poking around the internet that the case of inequality constraints is not always so straightforward. It might not be for several days, but I'll keep plugging away at completing the full Python/Quantopian implementation.
Grant: To better collaborate on this I'd like to try working on this on github. I uploaded what you posted, added the simplex_projection code and put it on github. The idea is that we'll give you access to that repo so that you and I (or other collaborators!) can push and pull code there.
One reason I'd like to try this is because we are thinking of ways to integrate github into quantopian so this can hopefully serve as a nice laboratory. Now we can only execute this on Quantopian so we'd have to copy&paste back and forth but this is something which will change once we figure out the right way to implement this. Would you be interested to help us out in that way?
Finally, if you don't have a github account, it's easy to create one. Just tell me your github name and we'll add you.
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Sure, I'll give github a try. Please note that I don't expect to have a lot of time to pour into this on a consistent basis. but we'll see how it goes.
Grant: Sure, there's no rush at all. Maybe we can even attract some contributors that way!
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I just set up my github account (I think). So feel free to do whatever needs to be done there for us/others to continue working.
Great, what's your github username? You can also email me at [email protected] but it's not really secret :)
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Just following up to share the address of the new public repo for algo scripts: github/quantopian/quantopian-algos.
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Some additional implementation details:
Please consider the number of securities ("assets" in the paper) used for the authors' backtesting. If you see Table 3 on Page 6 of On-Line Portfolio Selection with Moving Average Reversion, the numbers range from 23 to 88. As I recall, Quantopian is limited to portfolios of 10 securities or fewer, correct?
The paper discusses combining multiple OLMAR portfolios (the basic algorithm), each optimized for a different look-back window, w (see the final paragraph of Section 4.3 on Page 5). The full portfolio is constructed by performance-weighting versus w, with w ranging from 3 to 30 days. Given that the Quantopian moving average transform cannot be called with a variable (e. g. mavg(3) works, but mavg(w) doesn't), the weighting over a variable look-back window could be kinda awkward to implement in Quantopian. Any ideas how to manage this in the code?
Re 1: This will be changed very soon with the universe selection.
Re 2: Agreed. I think we should just add an option to turn off the automagic registration of transforms and let users register transforms themselves (in zipline one can do this with self. register_transform).
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An additional reference (thanks Thomas):
An additional note (credit to Thomas who noted the divide-by-zero problem in the algorithm). See the top of Page 255 of:
It states "Note that in case of zero market volatility, that is, || x _t − x_bar_t 1 ||^2 = 0, we just set τ = 0."
I'm not sure how to implement this rule in the algorithm, since || x _t − x_bar_t 1 ||^2.
0 will cause computation problems.
In the pamr_1_run. m MATLAB script posted at the site cais. ntu. edu. sg/
chhoi/PAMR/, the author tests for the zero volatility condition with this code:
Got to say gents, look how far you have come! Makes me all nostalgic revisiting this thread :)
Still lots to learn and fun to be had! Looking forward to tinkering with the new research platform.
Desculpe, algo deu errado. Tente novamente ou contate-nos enviando comentários.
Você enviou um ticket de suporte com sucesso.
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Paper: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection.
Matthias Knab, Opalesque:
This article proposes a novel online portfolio selection strategy named "Passive Aggressive Mean Reversion" (PAMR).
Unlike traditional trend following approaches, the proposed approach relies upon the mean reversion relation of financial markets. Equipped with online passive aggressive learning technique from machine learning, the proposed portfolio selection strategy can effectively exploit the mean reversion property of markets.
By analyzing PAMR's update scheme, we find that it nicely trades off between portfolio return and volatility risk and reflects the mean reversion trading principle. We also present several variants of PAMR algorithm, inc.
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alg_PAMR : Passive Aggressive Mean Reversion Algorithm (PAMR)
Descrição.
computes the Passive Aggressive Mean Reversion algorithm by Li et al. 2012.
Argumentos.
Matrix of price relatives, i. e. the ratio of the closing (opening) price today and the day before (use function get_price_relatives to calculate from asset prices).
The idea of PAMR is to exploit the mean-reversion property of asset prices. Based on a loss function PAMR passively maintains the last portfolio if the loss is zero and otherwise aggressively aproaches a new portfolio that can force the loss to be zero.
As the algorithm can lead to negative portfolio weights which are not permitted by the definition of on-line portfolio selection a simplex projection step is needed. The simplex projection is implemented according to Duchi et al. 2008 (see also projsplx ).
Object of class OLP containing.
Name of the Algorithm.
vector of asset names in the portfolio.
calculated portfolio weights as a vector.
wealth achieved by the portfolio as a vector.
exponential growth rate.
annual percantage yield (252 trading days)
standard deviation of exponential growth rate.
annualized standard deviation (252 trading days)
maximum draw down (downside risk)
see also print. OLP , plot. OLP.
The print method for OLP objects prints only a short summary.
Referências.
Li, B.; Zhao, P.; Hoi, S. C. H. & Gopalkrishnan, V. PAMR: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection, Machine Learning, 2012.
Duchi, J.; Shalev-Shwartz, S.; Singer, Y. & Chandra, T. Efficient projections onto the l 1-ball for learning in high dimensions, Proceedings of the 25th international conference on Machine learning, 2008.
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Passive Aggressive Mean Reversion Strategy For Portfolio Selection.
Passive Aggressive Mean Reversion Strategy For Portfolio Selection.
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Li Bin Associate Professor Confidence Weighted Mean Reversion Strategy for Online Portfolio Selection, ACM PAMR: Passive Aggressive Mean Reversion. A previous post on this blog illustrated a portfolio selection their passive aggressive mean reversion strategy. Adaptive Bayesian Optimisation for Online Portfolio Passive Aggressive Mean Reversion adaptive Bayesian optimisation for online portfolio selection. Online Portfolio Selection: A Survey focused on a single strategy Passive Aggressive Mean Reversion Li et al. Quant's Toolbox and Ideas's bookmarks. Passive Aggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio Selection. Passive Aggressive Mean Reversion Strategy. When a passive management strategy is employed, there is no need to expend time or resources on stock selection a passive, structured portfolio based on. A Toolbox for OnLine Portfolio Selection Passive Aggressive Mean Reversion output of an online portfolio selection strategy. Hoi, Vivekanand Gopalkrishnan, PAMR: PassiveAggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio Selection Confidence Weighted Mean Reversion Strategy OnLine Portfolio with Moving Average Reversion. Passive Aggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio Selection. Criteria for Choice Among Risky Ventures. Returns, Risk, Portfolio Selection, and Evaluation. Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection. Kalman Filtering and Online Learning Algorithms Learning Algorithms for Portfolio Selection In Passive aggressive mean reversion strategy. Unknown affiliation Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection. Confidence weighted mean reversion strategy for online. Passive investing is an investment strategy that limits buying and selling actions. Passive investors will purchase investments with the intention of longterm. OLPS Online Portfolio Selection toolbox. Hoi, and Vivekanand Passive Aggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio. This article proposes a novel online portfolio selection strategy named Passive Aggressive Mean Reversion (PAMR). Unlike traditional trend following approaches, the proposed approach relies upon the mean reversion relation of financial markets. Equipped with online passive aggressive learning tech. Kp Online Portfolio Selection the trading strategies in action and to PassiveAggressive Mean Reversion Preliminaries. PassiveAggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio Selection Research Collection School Of Information Systems School of Information and volatility risk and reflects the mean reversion passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection some skills present in teamwork Planning, organising and setting objectives PAMR: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection PAMR: Internal Regret in OnLine Portfolio Selection, Machine Learning. PAMR: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection. Volume 87, Number 3, June 2012. PAMR: Passive Aggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio Selection, Machine Robust Median Reversion Strategy for OnLine Portfolio Selection A previous post on this blog illustrated a portfolio selection detailing their passive aggressive mean reversion strategy. Does the common manager selection do the truly skilled manager exhibit mean reversion because of mean reversion in manager performance, a strategy. Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection. Preprints: Adaptive Subgradient Confidence Weighted Mean Reversion Strategy for OnLine Portfolio Selection. Passive aggressive mean reversion strategy for. Publications Moving Average Reversion Strategy for OnLine Portfolio Selection Bin Li, PassiveAggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio. A previous post on this blog illustrated a portfolio selection portfolio trading their passive aggressive mean reversion strategy. 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Online portfolio selection: PassiveAggressive Mean Reversion Preliminaries Online portfolio selection: principles and. Online Portfolio Selection: and presents a collection of innovative strategies that leverage machine PassiveAggressive Mean Reversion. MeanVariance Portfolio Selection With the Ordered Kerstin Lopatta, Thomas (2012) PAMR: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio. Unlike traditional trend following approaches, the proposed approach relies upon the mean reversion relation of financial markets. Equipped with online passive aggressive learning technique from machine learning, the proposed portfolio selection strategy can effectively exploit the mean reversion property of markets. Elisabetta Basilico is a seasoned investment professional with an expertise in turning academic insights into investment strategies. Comparing OLPS algorithms (OLMAR, UP, et at enhancing a rebalanced passive strategy of ETFs. Online Portfolio Selection: Passive Aggressive Mean Reversion. Algorithms and functions for Online Portfolio Selection.
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Moving average reversion strategy for on and a new online portfolio selection strategy named On passive aggressive mean reversion strategy for. OnLine Portfolio Selection with Moving Average Reversion OnLine Portfolio Selection with Moving Average Reversion proposed Passive Aggressive Mean Re Online Portfolio Selection from Grant K. Passive aggressive mean reversion strategy for Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection. This article proposes a novel online portfolio selection strategy named Passive Aggressive Mean Reversion (PAMR). Unlike traditional trend following approaches, the proposed approach relies upon the mean reversion relation of financial markets. OnLine Portfolio Selection and V. Pamr: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio. Unlike traditional trend following approaches, the proposed approach relies upon the mean reversion relation of financial markets. 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Chapter 9 PassiveAggressive Mean Reversion This chapter proposes a novel online portfolio selection (OLPS) strategy named passiveaggressive mean reversion. Mean Reversion Trading Systems ance the portfolio according to the mean reversion PassiveAggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio Selection. This article proposes a novel online portfolio selection strategy named Passive Aggressive Mean Reversion (PAMR). Unlike traditional trend following approaches, the proposed approach relies upon the mean reversion relation of financial markets. Machine Learning manuscript No. (will be inserted by the editor) PAMR: Passive Aggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio Selection Bin Li Peilin Zhao. PAMR; Referenced in 3 articles Pamr: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection. This article proposes a novel online portfolio selection. 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Can we learn to beat the best stock Passive Aggressive Mean Reversion Strategy for online portfolio selection strategy named Passive. Matthias Knab, Opalesque: This article proposes a novel online portfolio selection strategy named ISSN: EISSN: 3195 136 ONLINE PORTFOLIO SELECTION VIA MEAN REVERSION STRATEGY. LI GAO, 1 WEIGUO ZHANG 1 School of Business. OnLine Portfolio Selection Strategy Based PAMR: Passive aggressive mean reversion strategy Articles published in Management Science and Engineering. PORTFOLIO SELECTION Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection. PAMR: Passive Aggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio Selection by Bin Li, Peilin Zhao, Steven C. A previous post on this blog illustrated a portfolio selection portfolio trading strategies their passive aggressive mean reversion strategy. Confidence Weighted Mean Reversion Strategy OnLine Portfolio with Moving Average Reversion. 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This project proposes a novel online portfolio selection strategy named Passive Aggressive Mean Reversion\u22 (PAMR). Unlike traditional trend following. PAMR: Passive Aggressive Mean Reversion Strategy for Portfolio Selection, Machine Robust Median Reversion Strategy for OnLine Portfolio Selection Online portfolio selection is a fundamental problem in OnLine Portfolio Selection: A Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio. Passive Aggressive Algorithm for Online Portfolio Selection strategy named Passive Aggressive mean reversion for online portfolio selection. Unlike traditional trend following approaches, the proposed approach relies upon the mean reversion relation of financial markets. Equipped with online passive aggressive learning technique from machine learning, the proposed portfolio selection strategy can effectively exploit the mean reversion property of markets. To improve existing online portfolio selection strategies in the case of nonzero PAMR: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio.
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